Κριτήριο Λόγου και Κριτήριο Ρίζας

Οπτική Υπενθύμιση

Εκθετικές Ακολουθίες

🖱️ Σύρετε για μετακίνηση | 📜 Κύλιση για μεγέθυνση/σμίκρυνση

Μερικές εκθετικές ακολουθίες.

Εισαγωγή

Η Βασική Ιδέα

Τα κριτήρια λόγου και ρίζας μας βοηθούν να εξετάσουμε τη σύγκλιση μιας ακολουθίας $(\alpha_n)_{n\in \mathbb{N}}$.

Μας βοηθούν να καταλάβουμε τη συμπεριφορά της ακολουθίας, με το να βρίσκουν μια εκθετική ακολουθία που συμπεριφέρεται παρόμοια.
Δηλαδή, βρίσκουν ένα $\theta$ για το οποίο η ακολουθία $(\theta^n)_{n \in \mathbb{N}}$ καταλήγει να αυξάνει με τον ίδιο τρόπο που αυξάνει και η $(\alpha_n)_{n \in \mathbb{N}}$.

Θα δούμε πιο συγκεκριμένα τι σημαίνει αυτό στη συνέχεια...

Κριτήριο Λόγου

Η βασική ιδέα στο Κριτήριο Λόγου

Κάθε εκθετική ακολουθία $(\theta^n)_{n \in \mathbb{N}}$ χαρακτηρίζεται από τον λόγο δύο διαδοχικών της όρων:

$$ \frac{\theta^{n+1}}{\theta^n} = \theta, \quad \forall n \in \mathbb{N} $$

Αυτός ο λόγος δύο διαδοχικών όρων μας δίνει την παράμετρο $\theta$, που καθορίζει το εκθετικό.

Στην πραγματικότητα, μια εκθετική ακολουθία είναι απλά η ακολουθία που ξεκινάει από το 1 και έχει όλους τους λόγους της ίσους με $\theta$.

Θεωρούμε αντίστοιχα τους λόγους για μια τυχαία ακολουθία: $\frac{\alpha_{n+1}}{\alpha_n}, \forall n \in \mathbb{N}$.

Σύγκριση

Συμπεριφορά Ακολουθίας

Αν η $(\frac{a_{n+1}}{a_n})_{n \in \mathbb{N}}$ συγκλίνει σε έναν αριθμό $\theta$, τότε για μεγάλα $n$, η $(\alpha_n)$ θα αυξάνεται (ή μειώνεται) εξίσου γρήγορα με την $(\theta^n)$.

🖱️ Σύρετε για μετακίνηση | 📜 Κύλιση για μεγέθυνση/σμίκρυνση

Οι ακολουθίες $n^6/6^n$ (Μπλε) και $(1/6)^n$ (Κόκκινο) φθίνουν με παρόμοια ταχύτητα.

Θεώρημα

Το Κριτήριο Λόγου

Έστω ακολουθία $(\alpha_n)_{n \in \mathbb{N}}$ με $a_n \neq 0$ $\forall n \in \mathbb{N}$.

Αν η $\left|\frac{\alpha_{n+1}}{\alpha_n}\right|$ συγκλίνει σε αριθμό > 1, τότε η $(\alpha_n)$ αποκλίνει.
Αν η $\left|\frac{\alpha_{n+1}}{\alpha_n}\right|$ συγκλίνει σε αριθμό < 1, τότε η $(\alpha_n)$ συγκλίνει στο 0. iΑφού συγκλίνουμε στο 0, η σύγκλιση της $(|\alpha_n|)$ συνεπάγεται τη σύγκλιση της $(\alpha_n)$. Γι' αυτό, μιλάμε για τον λόγο $(\frac{|\alpha_{n+1}|}{|\alpha_n|})$.

Αν η ακολουθία των λόγων δεν συγκλίνει, ή αν συγκλίνει στο 1, τότε το Κριτήριο Λόγου δεν μπορεί να μας πει κάτι για τη σύγκλιση της $(\alpha_n)$.

Διαίσθηση

Απόδειξη του Κριτηρίου Λόγου

Η απόδειξη του Κριτηρίου Λόγου χρησιμοποιεί την ιδέα με τα εκθετικά που είδαμε στις πρώτες διαφάνειες.

Ωστόσο, το εκθετικό $(\theta^n)$ που κατασκευάζουμε, δεν έχει $\theta = \lim_{n \to \infty}{\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|}$, όπως περιμέναμε.

Αντ' αυτού, χρησιμοποιούμε ένα $\theta$ που είναι λίγο μικρότερο ή λίγο μεγαλύτερο από το όριο του λόγου.

Για ποιον λόγο συμβαίνει αυτό;;

Εξάσκηση (1/2)

1. $\alpha_n = \frac{2^n \cdot n!}{n^n}$

🖱️ Σύρετε για μετακίνηση | 📜 Κύλιση για μεγέθυνση/σμίκρυνση

Περιμένεις πως το Κριτήριο Λόγου θα δουλέψει; ?Με άλλα λόγια, οι λόγοι θα συγκλίνουν σε κάποιον αριθμό διαφορετικό από το 1;

2. $\beta_n = 1 + \frac{1}{n^2}$

🖱️ Σύρετε για μετακίνηση | 📜 Κύλιση για μεγέθυνση/σμίκρυνση

Το Κριτήριο λόγου θα δουλέψει για αυτήν;

Εξάσκηση (2/2)

3. $\gamma_n = \ln(n)$

🖱️ Σύρετε για μετακίνηση | 📜 Κύλιση για μεγέθυνση/σμίκρυνση

Το Κριτήριο Λόγου θα δουλέψει;

4. $\delta_n = \frac{3^n \cdot n!}{n^n}$

🖱️ Σύρετε για μετακίνηση | 📜 Κύλιση για μεγέθυνση/σμίκρυνση

Το Κριτήριο Λόγου θα δουλέψει;

Κριτήριο Ρίζας - Ιδέα

Ένας άλλος ορισμός

Ένας άλλος τρόπος με τον οποίο μπορούμε να ορίσουμε μια εκθετική ακολουθία είναι ο εξής: μια εκθετική ακολουθία ξεκινάει από το 1 και η ν-στή ρίζα των όρων της είναι σταθερή.

$$ \sqrt[n]{\theta^n} = \theta, \quad \forall n \in \mathbb{N} $$

Πράγματι, όποιο θ και να διαλέξουμε σαν βάση του εκθετικού, έχουμε $\sqrt[n]{\theta^n} = \theta$.

Οι εκθετικές ακολουθίες είναι αυτές που μετατρέπονται σε σταθερές αν βάλουμε ν-στή ρίζα στον ν-στο όρο της!

Αυτή η παρατήρηση μας δίνει έναν δεύτερο τρόπο να βρίσκουμε σε ποια εκθετική συνάρτηση "μοιάζει" μια ακολουθία $(\alpha_n)$.

Τι κριτήριο μπορούμε να φτιάξουμε, χρησιμοποιώντας αυτήν την παρατήρηση;

Θεώρημα

Κριτήριο Ρίζας

Έστω $(\alpha_n)$ ακολουθία μη αρνητικών όρων. iΏστε να μπορούμε να πάρουμε όλες τις ρίζες!

Αν η $\sqrt[n]{\alpha_n}$ συγκλίνει σε κάποιον αριθμό μεγαλύτερο του 1, τότε η $(\alpha_n)$ αποκλίνει.
Αν η $\sqrt[n]{\alpha_n}$ συγκλίνει σε κάποιον αριθμό μικρότερο του 1, τότε η $(\alpha_n)$ συγκλίνει στο 0.